\[ \newcommand{\bm}[1]{\symbfit{#1}} \]
一般に\(u = u(x, y)\)が独立変数\(x, y\)の関数であるとき，\(u\)と\(x, y\)および偏導関数(\(\partial u/\partial x, \partial u/\partial y, \partial^2 u/\partial x \partial y, ...\))の間に成り立つ関係式を偏微分方程式と呼ぶ．物理的に興味のある系の多くは比較的低次の偏微分方程式で表される．よく現れる偏微分方程式として，例えば \[ a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = F \left( u, x, y, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \] の形で表される系を考えよう．このとき \(D = b^2 - 4 a c\)の値によって偏微分方程式は
と分類される．
この分類は2次曲線 \[ a x^2 + b xy + c y^2 = F(x, y) \] が\(D\)の値によって楕円，放物線，双曲線に分類されることに由来するものであり，数学的にもこれらの分類によって解の性質は大きく異なる．
\(a = c = 1, b = 0, F = 0\)のとき， \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
\(a = 1, b = c = 0, F = \partial u/\partial y\)で\(y \rightarrow t\)と置き換えて \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
\(a = 1, b = 0, c = -1, F = 0\)で\(y \rightarrow t\)と置き換えて \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
一様重力場中の質点の運動方程式 \[ \frac{d^2 x}{d t^2} = -g \quad \left( \frac{dx}{d t} = v, \quad \frac{d v}{d t} = -g \right) \] の一般解は \[ x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \] である．この解を決定するには\(t = 0\)における条件（初期条件）\(x(0) = x_0\)および\(v(0) = v_0\)が必要．
この問題を境界値問題として見れば，\(t = 0\)および\(t = T\)の2点において一つずつ条件を与えることでも解を決定できる．
Direchlet型境界条件 \(x(0) = x_0\) や \(x(T) = x_1\) を与える．
Neumann型境界条件 \(x'(0) = v_0\) や \(x'(T) = v_1\) を与える．
偏微分方程式においても基本的に事情は同じであり，微分の階数に等しい条件を指定しなければならない．（境界条件を適当に与えると場合によっては解が無いということもあり得る！）
波動方程式 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] は時間・空間ともに2階の偏微分方程式である． したがって，この方程式の解を決定するには初期条件として\(t=0\)における\(u\)および\(\partial u /\partial t\)の値，境界条件として両端での\(u\)の値を与える必要がある．
ここで，補助変数として\(\partial u/\partial t = \partial v/\partial x\)なる\(v\)を導入してみよう．このとき波動方程式は \[
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial x},
\quad
\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x}
\] のように，2変数\(u, v\)についての時間・空間ともに1階の偏微分方程式に書き換えられる． したがって，初期条件として\(t = 0\)における\(u, v\)の値が必要となる．一方で，境界条件としては，例えば両方の境界で\(u\)の値を与えてもよいし，一方の境界で\(u\)を，もう一方の境界で\(v\)を与えてもよい．
ただし，両端で\(u, v\)の両方の値を同時に指定することはできない（自由度が足りない）ことに注意しよう．物理的には右方向に伝播する波動については左側の境界が，左方向に伝播する波動については右側の境界がそれぞれ影響を与えるためと考えることができる．